Teori Belajar Dienes, Tahap Belajar Dienes, Penerapa Teori Dienes, Kelebihan, KekuranganTeori Deines dalam pembelajaran Matematika

Belajar Matematika Itu Menyenangkan

Konsep Belajar Menurut Dienes

Zoltan P. Dienes adalah seorang matematikawan yang memusatkan perhatiannya pada cara-cara pengajaran terhadap siswa-siswa. Dasar teorinya bertumpu pada Piaget, dan pengembangannya diorientasikan kepada siswa-siswa, sehingga sistem yang dikembangkannya itu menarik bagi siswa yang mempelajarinya. ZP. Dienes meyakini  bahwa dengan menggunakan berbagai sajian (representasi) tentang suatu konsep matematika, anak-anak akan dapat memahami secara penuh konsep tersebut jika dibandingkan dengan hanya menggunakan satu konsep sajian saja. Sebagai contoh, jika guru ingin mengajarkan konsep tentang persegi, maka guru disarankan untuk menyajikan beberapa gambar persegi dengan ukuran berlainan

Menurut Baharuddin dan Wahyuni (2012; 11) belajar merupakan proses manusia untuk mencapai berbagai macam kompetensi, keterampilan dan sikap. Belajar dimulai sejak manusia lahir sampai akhir hayat. Belajar merupakan aktivitas yang tidak dapat dipisahkan dari kehidupan manusia.

 

Teori Belajar Dienes, Tahap Belajar Dienes, Penerapa Teori Dienes, Kelebihan, KekuranganTeori Deines dalam pembelajaran Matematika

Dalam mempelajari matematika yang dibutuhkan adalah kenyamanan dari para siswa saat belajar. Siswa merasa senang untuk belajar sehingga dengan mudah ia akan menyerap informasi serta memahami pelajaran matematika yang disampaikan oleh guru. Hal penting yang perlu dipahami oleh para pendidik bahwa untuk mengajar matematika pada anak sebaiknya dilakukan dengan cara yang menyenangkan, asyik serta anak merasa betah untuk belajar karena ia tidak merasa terbebani untuk belajar melainkan ia merasa bahwa sedang bermain.

Menurut Solehuddin (Hamdani, 2011; 11) bermain adalah dunia sekaligus sarana belajar anak. Memberikan kesempatan kepada anak untuk bermain berarti memberikan kesempatan kepada mereka untuk belajar dengan cara-cara yang dapat dikategorikan sebagai bermain. Ini berarti pengalaman belajar itu dirasakan dan dipersepsikan secara alami oleh anak sehingga menjadi bermakna baginya.

Melalui bermain itulah sesungguhnya anak belajar. Melalui bermain anak memiliki kesempatan untuk membangun dunianya berinteraksi dengan orang lain, mengekspresikan dan mengontrol emosinya, serta mengembangkan kecakapan simboliknya. Melalui bermain pula, anak-anak memperoleh kesempatan untuk mempraktikkan keterampilan-keterampilan yang baru diperolehnya dan mencoba tugas baru yang menantang. Karena anak belajar melalui kegiatan bermain, guru harus merancang kegiatan pembelajaran yang memiliki ciri-ciri bermain. Bermain dalam kaitan ini merupakan strategi pembelajaran.

Anak-anak bermain dengan berbagai bentuk dan cara. Ada permainan tertentu yang bentuknya berupa aktivitas yang mereka lakukan dengan manusia. Bermain adalah cara untuk mengembangkan aktivitas motorik. Pembelajaran motorik secara fisik akan membentuk dasar-dasar untuk segala proses belajar, termasuk membaca, menulis, aritmatika, dan musik. Intinya, tanpa pembelajaran motorik, perkembangan otak akan terhambat.

Bermain sambil belajar merupakan sebuah slogan yang harus dimaknai sebagai satu kesatuan, yakni belajar yang dilakukan anak melalui bermain. “Bermain sambil belajar” dalam arti ini tidak diartikan sebagai dua kegiatan yakni bermain dan belajar, yang dilakukan secara bergantian tapi anak belajar melalui bermain. Artinya, aktifitas-aktifitas anak lebih ditekankan pada ciri-ciri bermain. Porsi bermain tampak lebih menonjol daripada belajar. Melalui bermain itulah anak memperoleh berbagai kemampuan seperti kemampuan berkomunikasi, kemampuan berbahasa, kemampuan bersosialisasi, kemampuan memanajemen emosi dan berkemampuan berpikir logis-matematis.

Menurut Brawer (Hamdani, 2011;124) Sebagian orang dewasa beranggapan bahwa anak tidak mungkin dapat belajar apabila mereka menghabiskan waktu hanya unytuk bermain. Padahal, perlu diyakini bahwa bermain memberikan sumbangan yang berarti bagi perkembangan kemampuan akademik anak.

-Teori Belajar Dienes-

Manfaat yang dapat dipetik melalui “bermain sambil belajar” yaitu;

1. Melalui bermain, anak belajar untuk menerima, mengespresikan, dan menguasai perasaan mereka secara positif dan konstruktif.
2. Melalui bermain, anak belajar tentang diri mereka sendiri, anak juga belajar meyakini sudut pandangnya sendiri, yang dapat membuat ia termotivasi untuk mengembangkan kepercayaan diri, ketenangan diri.
3. Melalui bermain, anak belajar untuk mengungkapkan ide dan perasaannya secara verbal, memahami sudut pandang orang lain, dan belajar memutuskan suatu rencana untuk memecahkan masalah.
4. Melalui bermain, anak belajar menghargai orang lain.Kegiatan bermain dirancang sedemikian rupa sehingga anak tidak merasa junuh. Ini berarti kegiatan bermain harus disesuaikan dengan tingkat perkembangan anak dalam berbagai aspek, termasuk mengetahui permaianan yang tepat untuk anak. Desain permaianan sangat penting untuk dipahami, terutama ketika guru harus memilih permainan yang dapat dimainkan anak didalam kelas.

Teori Belajar Dienes

Dienes (dalam Ruseffendi, 1992) berpendapat bahwa pada dasarnya matematika dapat dianggap sebagai studi tentang struktur, memisah-misahkan hubungan-hubungan di antara struktur-struktur dan mengkategorikan hubungan-hubungan diantara struktur-struktur. Seperti halnya dengan Bruner, Dienes mengemukakan bahwa tiap-tiap konsep atau prinsip dalam matematika yang disajikan dalam bentuk yang konkret akan dapat dipahami dengan baik. Ini mengandung arti bahwa jika benda-benda atau objek-objek dalam bentuk permainan akan sangat berperan bila dimanipulasi dengan baik dalam pengajaran matematika.

Menurut Dienes, permainan matematika sangat penting sebab operasi matematika dalam permainan tersebut menunjukkan aturan secara kongkret dan lebih membimbing dan menajamkan pengertian matematika pada anak didik. Dapat dikatakan bahwa objek-objek kongkret dalam bentuk permainan mempunyai peranan sangat penting dalam pembelajaran matematika jika dimanipulasi dengan baik. Makin banyak bentuk-bentuk yang berlainan yang diberikan dalam konsep-konsep tertentu, akan makin jelas konsep yang dipahami anak, karena anak-anak akan memperoleh hal-hal yang bersifat logis dan matematis dalam konsep yang dipelajarinya itu.

Dalam mencari kesamaan sifat anak-anak mulai diarahkan dalam kegiatan menemukan sifat-sifat kesamaan dalam permainan yang sedang diikuti. Untuk melatih anak-anak dalam mencari kesamaan sifat-sifat ini, guru perlu mengarahkan mereka dengan mentranslasikan kesamaan struktur dari bentuk permainan yang satu ke bentuk permainan lainnya. Translasi ini tentu tidak boleh mengubah sifat-sifat abstrak yang ada dalam permainan semula.

Konsep Matematika Teori Belajar Dienes

Dienes memandang matematika sebagai penyelidikan tentang struktur, pengklasifikasian struktur, memilah-milah hubungan di dalam struktur,  dan membuat kategorisasi hubungan-hubungan di antara struktur-struktur. Ia yakin bahwa setiap konsep atau prinsip matematika dapat dipahami dengan tepat jika mula-mula disajikan melalui berbagai representasi konkret/fisik. Dienes menggunakan istilah konsep untuk menunjuk suatu struktur matematika, suatu definisi tentang konsep yang jauh lebih luas daripada definisi Gagne.

Menurut Dienes, ada tiga jenis konsep matematika yaitu konsep murni matematika, konsep notasi, dan konsep terapan.

 1. Konsep murni matematis

Konsep matematis murni berhubungan dengan klasifikasi bilangan-bilangan dan hubungan-hubungan antar bilangan, dan sepenuhnya bebas dari cara bagaimana bilangan-bilangan itu disajikan. Sebagai contoh, enam, 8, XII, 1110 (basis dua), dan Δ Δ Δ Δ, semuanya merupakan contoh konsep bilangan genap; walaupun masing-masing menunjukkan cara yang berbeda dalam menyajikan suatu bilangan genap.

2.       Konsep notasi

Sifat-sifat bilangan yang merupakan akibat langsung dari cara penyajian bilangan. Fakta bahwa dalam basis sepuluh, 275 berarti 2 ratusan ditambah 7 puluhan ditambah 5 satuan merupakan akibat dari notasi nilai tempat dalam menyajikan bilangan-bilangan yang didasarkan pada sistem pangkat dari sepuluh. Pemilihan sistem notasi yang sesuai untuk berbagai cabang matematika adalah faktor penting dalam pengembangan dan perluasan matematika selanjutnya.

3.      Konsep Terapan

Penerapan dari konsep matematika murni dan notasi untuk penyelesaian masalah dalam matematika dan dalam bidang-bidang yang berhubungan. Panjang, luas dan volume adalah konsep matematika terapan. Konsep-konsep terapan hendaknya diberikan kepada siswa setelah mereka mempelajari konsep matematika murni dan notasi sebagai prasyarat. Konsep-konsep murni hendaknya dipelajari oleh siswa sebelum mempelajari konsep notasi, jika dibalik para siswa hanya akan menghafal pola-pola bagaimana memanipulasi simbol-simbol tanpa pemahaman konsep matematika murni yang mendasarinya. Siswa yang membuat kesalahan manipulasi simbol seperti 3x + 2 = 4 maka x + 2 = 4 – 3,  = x, a2 x a3 = a6, dan  = x +  berusaha menerapkan konsep murni dan konsep notasi yang tidak cukup mereka kuasai.

Dienes memandang belajar konsep sebagai seni kreatif yang tidak dapat dijelaskan oleh teori stimulus-respon manapun seperti tahap-tahap belajar Gagne. Dienes percaya bahwa semua abstraksi didasarkan pada intuisi dan pengalaman konkret; akibatnya sistem pembelajaran matematika Dienes menekankan laboratorium matematika, objek-objek yang dapat dimanipulasi, dan permainan matematika.


TEORI DIENES

Metode Permainan dalam Pembelajaran Matematika Teori Dienes

Permainan Matematika adalah suatu kegiatan yang menggembirakan yang dapat menunjang tercapainya tujuan instruksional pengamatan matematika. Tujuan ini dapat menyangkut aspek kognitif, psikomotorik, atau afektif. Walaupun permainan matematika menyenangkan penggunaannya harus dibatasi, dilaksanakan seingatnya saja. Barangkali sekali-kali dapat juga diberikan untuk mengisi waktu, mengubah suasana “tekanan tinggi’, menimbulkan minat, dan sejenisnya. Seharusnya direncanakan dengan tujuan instruksional yang jelas, tepat penggunaannya, dan tepat pula waktunya.

Permainan yang mengandung nilai-nilai matematika dapat meningkatkan ketrampilan, penanaman konsep, pemahaman, dan pemantapannya, meningkatkan kemampuan menemukan, memecahkan masalah, dan lain-lainnya. Yang begini harus banyak dipakai, terpadu dengan kegiatan belajar mengajar. Model permainan sama seperti metode-metode mengajar lain memerlukan perumusan tujuan instruksional yang jelas, penilaian topik atau subtopik, perincian kegiatan belajar mengajar, dan lain-lainnya. Sebaiknya dilakukan evaluasi terhadap keberhasilan penggunaan tiap permainan diberikan untuk keperluan selanjutnya. Apakah efektif atau hanya menghamburkan waktu saja. Selanjutnya hindari permainan yang hanya bersifat teka-teki atau yang tidak ada nilai matematikanya.

Beberapa arti metode permainan yaitu : - Teori Belajar Dienes-

1. Pembelajaran dengan metode bermain adalah pembelajaran dengan cara seolah–olah berada dalam suatu situasi untuk memperoleh suatu pemahaman tentang suatu konsep. Dalam metode ini siswa berkesempatanm terlibat secara aktif sehingga akan lebih memahami konsep dan lebih lama mengingat, tetapi memerlukan waktu lama.
2. Metode permainan adalah cara mengajar yang dilaksanakan dalam untuk permainan.Metode permainan dalam pembelajaran matematika adalah cara untuk menyampaikan pelajaran matematika dengan sarana bermain. Metode permainan dalam pembelajaran dapat memberikan kesempatan bagi siswa untuk terlibat langsung dalam pembelajaran dan membuat siswa merasa senang terhadap matematika.

 Dari penjelasan diatas dapat disimpulkan bahwa metode permainan adalah metode mengajar dimana cara penyajian materi dengan permainan. Sehingga dengan permainan tanpa disadari oleh anak/peserta didik bahwa mereka telah disuguhi pelajaran matematika. Selain itu, untuk lebih merangsang minat anak-anak belajar matematika adalah dengan menggunakan bahasa yang sederhana yang mudah dimengerti, sehingga mereka lebih mudah belajar dan menerima penjelasan dari pendidiknya maupun dari orang tuanya. Metode permainan (games), terkenal dengan berbagai sebutan antara lain pemanasan (ice-breaker) atau penyegaran (energizer). Arti harfiah ice-breaker adalah ‘pemecah es’. Jadi, arti pemanasan dalam proses belajar adalah pemecah situasi kebekuan fikiran atau fisik peserta. Permainan juga dimaksudkan untuk membangun suasana belajar yang dinamis, penuh semangat, dan antusiasme.

 

Teori Belajar Dienes

Karakteristik permainan adalah menciptakan suasana belajar yang menyenangkan (fun) serta serius tapi santai (sersan). Permainan digunakan untuk penciptaan suasana belajar dari pasif ke aktif, dari kaku menjadi gerak (akrab) dan dari jenuh menjadi riang (segar).

Tujuan dari pemanfaatan situasi anak bermain sambil belajar matematika, yaitu :

1. Agar peserta didik senang dalam mengerjakan suatu bahan pelajaran matematika.

2. Agar peserta didik terdorong dan menaruh minat untuk mempelajari matematika secara sukarela.

3. Adanya suatu semangat bertanding dalam suatu permainan dan berusaha untuk menjadi pemenang dan dapat mendorong anak peserta didik untuk memusatkan perhatian pada permainan yang dihadapinya.

4. Jika peserta didik terlibat pada kegiatan dan keaktifan sendiri, akan betul-betul memahami dan mengerti.

5. Ketegangan-ketegangan dalam pikiran peserta didik setelah belajar matematika dapat berkurang.

6. Agar peserta didik dapat memanfaatkan waktu yang luang.


-Teori Belajar Dienes-
Menurut Dienes, permainan matematika sangat penting sebab operasi matematika dalam permainan tersebut menunjukkan aturan secara kongkret dan lebih membimbing dan menajamkan pengertian matematika pada anak didik. Dapat dikatakan bahwa objek-objek kongkret dalam bentuk permainan mempunyai peranan sangat penting dalam pembelajaran matematika jika dimanipulasi dengan baik.

Konsep-konsep matematika akan berhasil jika dipelajari dalam tahap-tahap tertentu. Dienes membagi tahap-tahap belajar menjadi 6 tahap, yaitu:

Tahap-tahap Belajar Menurut Dienes

Menurut Dienes konsep-konsep matematika akan berhasil jika dipelajari dalam tahap-tahap tertentu. Dienes membagi tahap-tahap belajar menjadi 6 tahap, yaitu:

1.    Permainan Bebas (Free Play)

Tahap yang paling awal dari pengembangan konsep bermula dari permainan bebas. Permainan bebas merupakan tahap belajar konsep yang aktifitasnya tidak berstruktur dan tidak diarahkan. Anak didik diberi kebebasan untuk mengatur benda. Selama permainan, pengetahuan anak muncul. Dalam tahap ini anak mulai membentuk struktur mental dan struktur sikap dalam mempersiapkan diri untuk memahami konsep yang sedang dipelajari.

2.    Permainan yang Menggunakan Aturan (Games)

Dalam permainan yang disertai aturan siswa sudah mulai meneliti pola-pola dan keteraturan yang terdapat dalam konsep tertentu. Keteraturan ini mungkin terdapat dalam konsep tertentu tapi tidak terdapat dalam konsep yang lainnya. Jelaslah, dengan melalui permainan siswa diajak untuk mulai mengenal dan memikirkan bagaimana struktur matematika itu. Makin banyak bentuk-bentuk berlainan yang diberikan dalam konsep tertentu, akan semakin jelas konsep yang dipahami siswa, karena akan memperoleh hal-hal yang bersifat logis dan matematis dalam konsep yang dipelajari itu.

3.    Permainan Kesamaan Sifat (Searching for communalities)

Dalam mencari kesamaan sifat, siswa mulai diarahkan dalam kegiatan menemukan sifat-sifat kesamaan dalam permainan yang sedang diikuti. Untuk melatih dalam mencari kesamaan sifat-sifat ini, guru perlu mengarahkan mereka dengan mentranslasikan kesamaan struktur dari bentuk permainan lain. Translasi ini tentu tidak boleh mengubah sifat-sifat abstrak yang ada dalam permainan semula.

4.    Permainan Representasi (Representation)

Representasi adalah tahap pengambilan sifat dari beberapa situasi yang sejenis. Para siswa menentukan representasi dari konsep-konsep tertentu. Setelah mereka berhasil menyimpulkan kesamaan sifat yang terdapat dalam situasi-situasi yang dihadapinya itu. Representasi yang diperoleh ini bersifat abstrak. Dengan demikian telah mengarah pada pengertian struktur matematika yang sifatnya abstrak yang terdapat dalam konsep yang sedang dipelajari. Contoh kegiatan anak untuk menemukan banyaknya diagonal poligon seperti berikut ini.
Segitiga, Segiempat, Segilima, Segienam, Segi dua puluh tiga
0 diagonal, 2 diagonal, 5 diagonal, ..... diagonal, …. diagonal

5.    Permainan dengan Simbolisasi (Symbolization)

Simbolisasi termasuk tahap belajar konsep yang membutuhkan kemampuan merumuskan representasi dari setiap konsep-konsep dengan menggunakan simbol matematika atau melalui perumusan verbal. Sebagai contoh, dari kegiatan mencari banyaknya diagonal tersebut, kegiatan berikutnya menentukan rumus banyaknya diagonal suatu poligon yang digeneralisasikan dari pola yang didapat anak.

6.    Permainan dengan Formalisasi (Formalization)

Formalisasi merupakan tahap belajar konsep yang terakhir. Dalam tahap ini siswa dituntut untuk mengurutkan sifat-sifat konsep dan kemudian merumuskan sifat-sifat baru konsep tersebut, sebagai contoh siswa yang telah mengenal dasar-dasar dalam struktur matematika seperti aksioma, harus mampu merumuskan teorema dalam arti membuktikan teorema tersebut.

Pada tahap formalisasi anak tidak hanya mampu merumuskan teorema serta membuktikannya, tetapi mereka sudah mempunyai pengetahuan tentang sistem yang berlaku dari pemahaman konsep-konsep yang terlibat satu sama lainnya. Misalnya bilangan bulat dengan operasi penjumlahan beserta sifat-sifat tertutup, komutatif, asosiatif, adanya elemen identitas, dan mempunyai elemen invers, membentuk sebuah sistem matematika. Dienes menyatakan bahwa proses pemahaman (abstracton) berlangsung selama belajar. Untuk pengajaran konsep matematika yang lebih sulit perlu dikembangkan materi matematika secara kongkret agar konsep matematika dapat dipahami dengan tepat. Dienes berpendapat bahwa materi harus dinyatakan dalam berbagai penyajian (multiple embodiment), sehingga anak-anak dapat bermain dengan bermacam-macam material yang dapat mengembangkan minat anak didik. Berbagai penyajian materi (multiple embodinent) dapat mempermudah proses pengklasifikasian abstraksi konsep.
Menurut Dienes, variasi sajian materi hendaknya tampak berbeda antara satu dan lainya, sehingga anak didik dapat melihat struktur dari berbagai pandangan yang berbeda-beda dan memperkaya imajinasinya terhadap setiap konsep matematika yang disajikan. Berbagai sajian (multiple embodiment) juga membuat adanya manipulasi secara penuh tentang variabel-variabel matematika. Variasi matematika dimaksud untuk membuat lebih jelas mengenai sejauh mana sebuah konsep dapat digeneralisasi terhadap konsep yang lain. Dengan demikian, semakin banyak bentuk-bentuk berlainan yang diberikan dalam konsep tertentu, semakin jelas bagi anak dalam memahami konsep tersebut.



Belajar dengan permainan bisa menjadikan  pembelajaran matematika yang awalnya sulit menjadi mudah dan menyenangkan. Misalnya peserta didik dalam belajar bilangan bulat, pada awal pembelajaran sebelum dilakukan pembelajaran materi bilangan bulat dengan maksud untuk mengetahui kemampuan awal siswa, menarik minat siswa terhadap matematika, dan membuat pembelajaran yang menyenangkan.

Kelebihan Teori Dienes ,yaitu :

1.         Melatih anak untuk mendramatisasikan sesuatu serta melatih keberanian

2.         Metode ini akan menarik perhatian anak sehingga suasana kelas menjadi hidup.

3.         Anak dapat menghayati suatu peristiwa sehingga mudah mengambil kesimpulan berdasarkan penghayatan sendiri.

4.         Anak dilatih untuk menyusun pikirannya dengan teratur.

Kelemahan dari metode permainan, yaitu:

1.    Tidak semua topik dapat disajikan melalui permainan

2.    Memerlukan banyak waktu

3.    Penentuan kalah menang dan bayar-membayar dapat berakibat negatif

4.    Mungkin juga tidak terjadi pertengkaran.

5.    Mengganggu ketenangan belajar di kelas-kelas lain.

Contoh Metode Permainan Teori Dienes:

Seorang Guru menyampaikan pertanyaan berikut kepada murid-muridnya.

“Sepuluh ekor burung bertengger pada kawat telepon. Datnglah seorang pemburu. Lalu tembaknya burung-burung itu. Sekali tembak kena lima ekor. Berapa burung dibawa pulang oleh pemburu itu? ”

Bagaimana jawabannya? Mungkin seorang menjawabnya, “Lima”. Alasannya adalah hanya lima ekor burung itu saja yang kena tembak. Murid lain mengatakan ”tidak ada” dengan alasan yang kena tembak hanya ekornya saja. Masih banyak jawaban lain dan semua beralasan pula.

Contoh diatas merupakan permainan. Hal seperti itu disenangi anak-anak. Yang pertama jawabnya bermacam-macam, asal alasannya dapat diterima

         

Penerapan Teori Dienes dalam Pembelajaran Matematika

Dalam menerapkan enam tahap belajar konsep dari Dienes untuk merancang pembelajaran matematika, mungkin suatu tahap (bisa tahap bermain bebas) tidak cocok bagi para siswa atau kegiatan-kegiatan untuk dua atau tiga tahap dapat digabung menjadi satu kegiatan. Mungkin perlu dirancang kegiatan-kegiatan belajar khusus untuk setiap tahap jika kita mengajar siswa-siswa kelas rendah, tetapi untuk siswa-siswa SMP dimungkinkan menghilangkan tahap-tahap tertentu dalam mempelajari beberapa konsep.

Model mengajar matematika dari Dienes hendaknya diperlakukan sebagai pedoman, dan bukan sekumpulan aturan yang harus diikuti secara ketat. Konsep perkalian bilangan bulat negatif akan dibahas di sini sebagai contoh bagaimana tahap-tahap Dienes dapat digunakan sebagai pedoman dalam merancang kegiatan mengajar/belajar. Karena hampir semua siswa belajar menambah, mengurang, mengalikan dan membagi bilangan-bilangan asli, dan menambah dan mengurang bilangan-bilangan bulat sebelum belajar mengalikan bilangan bulat, kita berasumsi bahwa konsep-konsep dan keterampilan-keterampilan itu telah dikuasai oleh para siswa. Bagi para siswa kelas 7 SMP, dapat mulai sesi permainan bebas dengan secara informal mendiskusikan pengerjaan hitung pada bilangan asli dan sifat-sifat aljabar dari bilangan asli. Guru mungkin juga mendiskusikan penjumlahan dan pengurangan pada bilangan bulat dan sifat pertukaran dan pengelompokan penjumlahan. 

 

Guru bisa juga mengganti permainan bebas dengan tinjauan informal. Atau tahap bermain bebas dan game bisa digabung menjadi beberapa permainan seperti permainan kartu sederhana berikut: guru hendaknya menyiapkan meja panjang secukupnya untuk permainan kartu standar sedemikian hingga terdapat satu meja panjang untuk setiap lima siswa dalam kelas. Para siswa yang bermain dalam kelompok lima orang dan setiap anak memegang empat kartu. Setiap siswa mengelompokkan kartu-kartunya menjadi berpasang-pasangan, kemudian mengalikan kedua bilangan yang ditunjukkan oleh setiap pasang kartu, dan kemudian menjumlahkan kedua hasil kali itu. Siswa yang dapat memasangkan kartu-kartunya sehingga memperoleh jumlah hasil kali terbesar adalah pemenang dalam kelompoknya. Bilangan-bilangan pada kartu hitam (keriting dan waru) dianggap sebagai bilangan positif, dan bilangan-bilangan pada kartu merah (hati dan belah ketupat) sebagai bilangan negatif. Konsekuensinya para siswa langsung dihadapkan pada masalah bagaimana mengelompokkan kartu-kartu negatif untuk mendapatkan hasil kali dan jumlah positif yang besar. Beberapa kelompok mungkin menyepakati aturan-aturan yang berbeda untuk menangani hasil kali dua bilangan negatif. Sebagai contoh, kartu hitam 2 dan 4 dan kartu merah 7 dan 5 dapat digunakan untuk membuat 2 x 4 + (-7 x -5) = 43, jika aturan yang benar bahwa hasil kali dua bilangan bulat negatif adalah suatu bilangan bulat positif telah dirumuskan. Jika tidak, maka bilangan-bilangan negatif tidak akan menolong dalam mengorganisasi seorang pemenang. Beberapa siswa tentunya akan saling bertanya atau bertanya kepada guru tentang bagaimana menyekor bilangan bulat negatif.

Tahap-tahap dalam Belajar Konsep Matematika

Dienes yakin bahwa konsep-konsep matematika harus dipelajari secara bertahap yang mirip dengan tahap-tahap perkembangan intelektual Piaget. Ia memandang sebagai aksioma enam tahap mengajar dan belajar konsep matematika yakni (1) bermain bebas, (2) bermain dengan aturan (games), (3) mencari sifat-sifat yang sama, (4) representasi, (5) simbolisasi, dan (6) formalisasi.

Tahap 1. Bermain Bebas

Tahap bermain bebas dari belajar konsep terdiri dari kegiatan-kegiatan yang tidak distrukturkan dan tidak diarahkan yang membolehkan para siswa untuk bereksperimen dengan dan memanipulasi representasi fisik dan asbstrak beberapa unsur dari konsep yang dipelajari. Tahap belajar konsep ini hendaknya dibuat sebebas dan tak terstruktur mungkin; akan tetapi guru hendaknya menyediakan bahan-bahan yang sangat bervariasi untuk dimanipulasi para siswa. Akan tetapi periode bermain bebas yang tanpa aturan ini mungkin dinilai rendah nilainya oleh guru yang terbiasa mengajar matematika menggunakan metode yang sangat terstruktur, namun ini merupakan tahap penting dalam belajar konsep. Di sini para siswa mengalami untuk pertama kalinya berhubungan dengan banyak komponen dari konsep baru melalui interaksi dengan lingkungan belajar yang berisi banyak representasi konkret dari konsep itu. Pada tahap ini para siswa membentuk struktur mental dan sikap yang menyiapkan mereka untuk mengerti struktur matematis suatu konsep.

Tahap 2. Games

Setelah periode bermain bebas dengan banyak representasi suatu konsep, para siswa akan mulai mengamati pola-pola dan keteraturan yang melekat pada konsep itu. Mereka memperhatikan bahwa aturan-aturan tertentu menentukan suatu kejadian, bahwa beberapa hal adalah mungkin dan bahwa hal lainnya tidak mungkin. Sekali siswa telah menemukan aturan-aturan dan sifat-sifat yang menentukan suatu kejadian, mereka siap untuk memainkan games, bereksperimen dengan mengubah aturan permainan yang dibuat oleh guru dan membuat permainan mereka sendiri. Games memungkinkan para siswa bereksperimen dengan berbagai parameter dan variasi dalam suatu konsep dan untuk mulai menganalisis struktur matematis suatu konsep. Berbagai permainan dengan representasi yang berbeda tentang suatu konsep akan membantu para siswa menemukan unsur-unsur logis dan matematis suatu konsep.

Tahap 3. Mencari Sifat yang sama

Bisa terjadi setelah memainkan beberapa games menggunakan representasi fisik yang berbeda dari suatu konsep, para siswa mungkin tidak menemukan struktur matematis yang ada pada semua representasi konsep itu. Sebelum para siswa menyadari adanya sifat-sifat yang sama dalam representasi-representasi itu, mereka tidak akan dapat mengklasifikasi contoh dan bukan contoh dari suatu konsep. Dienes menyarankan agar para guru dapat membantu para siswa melihat struktur yang sama dalam contoh-contoh konsep itu dengan menunjukkan kepada mereka bahwa setiap contoh dapat dijelmakan ke dalam setiap contoh lain tanpa mengubah sifat-sifat abstrak yang sama pada semua contoh. Seperti halnya untuk menunjukkan sifat-sifat yang sama yang ditemukan dalam setiap contoh dengan memikirkan beberapa contoh pada saat yang sama.

Tahap 4. Representasi

Setelah para siswa mengamati unsur-unsur yang sama dalam setiap contoh konsep, mereka perlu mengembangkan, atau menerima dari guru, representasi tunggal konsep itu yang meliputi semua unsur yang sama yang ditemukan dalam setiap contoh. Para siswa memerlukan representasi dengan tujuan untuk menunjukkan unsur-unsur yang sama yang terdapat dalam semua contoh konsep. Suatu representasi konsep biasanya lebih abstrak daripada contoh-contoh dan akan membawa para siswa lebih dekat kepada pemahaman struktur matematis abstrak yang mendasari konsep itu. Contoh kegiatan anak untuk menemukan banyaknya diagonal poligon (misal segi dua puluh tiga) dengan pendekatan induktif.